こんにちは、あーとんです。
今回は三平方の定理の解説とその証明をしていきます！中学3年生で習うものですが、数学においては応用範囲がとても多く、重要な定理となっています。
きっちりと理解しておきましょう。
今回の公式暗記タイプ：暗記必須(導出過程は知っておく)
※暗記タイプの分類…暗記必須、暗記したほうがよい、暗記するな！の3タイプ
1．三平方の定理(パスカルの定理)とは
三平方の定理は直角三角形の辺の長さに関する定理です。
発動条件：直角三角形であること
このとき、次の式が成り立ちます。
※注意：ｃは斜辺(斜めの一番長い辺)です
きれいな形をしていて覚えやすいかと思います。
さっそく簡単な例題を1問解いてみましょう！
次の直角三角形において、斜辺の長さを求めよ。
斜辺の長さをcと置く。三平方の定理より、
$$c^2=5^2+3^2$$
$$ =25+9$$
$$ =34$$
$$c=\sqrt{34}$$
$$∴\sqrt{34}cm$$
このように、三平方の定理を使うためには平方根(√)の扱いも大切になるので復習しておきましょう。
2．三平方の定理の応用例
三平方の定理は数学における様々な場面で活躍します。意識していなくとも、数学をする上では必須の定理です。
- 直交座標上の2点間の距離
- ベクトルの絶対値
- 複素数の絶対値
- 三角関数の値
- 統計誤差(不確かさ)の計算etc…
最後のものは大学の統計学などで学ぶものですが、こちらにも三平方の定理と同じ形のものが登場します。(一般に2乗和平方根法といいます)
ここでは簡単に、2点間の距離について解説します。
・2点間の距離の解説
座標平面上にある2点A,Bがあるとします。この時、距離ABを求めます。
勘の良い人はもう気づきましたか？
そうです、三平方の定理を使うために、発動条件である直角三角形を作ります。
A(a,b),B(c,d)とすれば、次の図のようになります。
ABを求めると、
$$AB^2=(c-a)^2+(d-b)^2$$
$$∴AB=\sqrt{(c-a)^2+(d-b)^2}$$
このようにして、2点間の距離は求めることができます。
3．三平方の定理の証明
さて、三平方の定理にもだいぶ慣れてきたと思います。
そこでこの定理を証明します。公式は証明することで理解度がより増します。そのうえで暗記しましょう。
冒頭にも書きましたがもう一度暗記タイプを確認しておきましょう。
今回の公式暗記タイプ：暗記必須(導出過程は知っておく)
※暗記タイプの分類…暗記必須、暗記したほうがよい、暗記するな！の3タイプ
＜証明＞
図のような正方形を考える。
正方形の面積は、一辺がa+bなので(a+b)2とあらわせる。
また、直角三角形4つと真ん中の正方形一つと考えれば、$4*ab/2+c^2$ともあらわせるので、
(証明終)
4．まとめ
さて、今回のまとめです。
三平方の定理：$a^2+b^2=c^2$ (a,b,cは三角形の辺の長さ、cは斜辺)
発動条件：直角三角形であること
応用例：2点間の距離を求められる
暗記タイプ：暗記必須
ではでは。
